严格耦合波分析求解器（RCWA）

RCWA把周期性介质和周期性场都展开为傅里叶级数，然后把连续空间中的麦克斯韦方程转化为离散傅里叶空间中的一组线性微分方程。由于周期结构在平面内是离散的，场在不同衍射级次之间发生耦合，因此该方法也被称为“严格耦合波分析”。主要物理原理如下：

1. 周期性介质的傅里叶展开

对于二维周期性光栅，介电常数和磁导率满足

$$\epsilon_r(x,y)=\epsilon_r(x+\Lambda_x,y)=\epsilon_r(x,y+\Lambda_y),\\ \mu_r(x,y)=\mu_r(x+\Lambda_x,y)=\mu_r(x,y+\Lambda_y)$$

因此可以展开为傅里叶级数：

$$\epsilon_r(x,y)=\sum_{m,n} \epsilon_{m,n}\,e^{-j(mG_x x+nG_y y)},\\ \mu_r(x,y)=\sum_{m,n} \mu_{m,n}\,e^{-j(mG_x x+nG_y y)}$$

其中 $G_x=2\pi/\Lambda_x$、$G_y=2\pi/\Lambda_y$ 为倒格矢分量。

2. 电磁场展开为空间谐波

设入射波在 $x$-$y$ 平面内的波矢为 $(k_{x0},k_{y0})$，则第 $(m,n)$ 个衍射级次对应的波矢分量为

$$k_{x,m}=k_{x0}+mG_x,\quad k_{y,n}=k_{y0}+nG_y,\quad k_{z,mn}=\sqrt{k_0^2-k_{x,m}^2-k_{y,n}^2}$$

其中 $k_0=2\pi/\lambda$ 为自由空间波数。于是电场和磁场可以分别写成一组空间谐波的叠加：

$$\mathbf{E}(x,y,z)=\sum_{m,n}\mathbf{S}_{m,n}(z)e^{-j(k_{x,m}x+k_{y,n}y)}$$

$$\mathbf{H}(x,y,z)=\sum_{m,n}\mathbf{U}_{m,n}(z)e^{-j(k_{x,m}x+k_{y,n}y)}$$

其中 $\mathbf{S}_{m,n}(z)$ 和 $\mathbf{U}_{m,n}(z)$ 是各个傅里叶级次在给定 $z$ 位置上的幅值函数。

3. 代入麦克斯韦方程并化为本征值问题

将上述展开代入频域麦克斯韦方程

$$\nabla\times\mathbf{E}=j\omega\mu_0\mu_r\mathbf{H},\quad \nabla\times\mathbf{H}=-j\omega\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E}$$

由于介电常数和磁导率为周期函数，乘法运算在傅里叶空间中变成卷积，因此不同衍射级次之间会发生耦合。对每个 $(m,n)$ 级次，可得到一组关于 $\mathbf{S}_{m,n}(z)$ 和 $\mathbf{U}_{m,n}(z)$ 的一阶微分方程，其通用形式可写为

$$\frac{d}{dz}\mathbf{\Psi}(z)=\mathbf{\Omega^2}\mathbf{\Psi}(z)$$

其中

$$\mathbf{\Psi}(z)= \begin{bmatrix} \mathbf{S}_{m,n}(z) \\ \mathbf{U}_{m,n}(z) \end{bmatrix}$$

矩阵 $\mathbf{\Omega^2}$ 的元素由波矢分量 $k_{x,m},k_{y,n}$、介质参数 $\epsilon_{m,n},\mu_{m,n}$ 以及频率 $\omega$ 共同决定，因此它本质上描述了各个衍射级次之间的耦合关系。对每一个均匀层内的常系数矩阵 $\mathbf{\Omega^2}$，可进一步求解其特征问题：

$$\mathbf{\Omega^2}\mathbf{v}_\ell=\eta_\ell\mathbf{v}_\ell$$

其中 $\eta_\ell$ 为第 $\ell$ 个传播本征值，对应的 $\mathbf{v}_\ell$ 为本征模。也就是说，周期结构在某一层内的场并不是单一平面波，而是由一组满足相同边界条件的传播模线性叠加而成。任意层内的场分量可表示为

$$\mathbf{\Psi}(z)=\sum_{\ell} c_\ell\mathbf{v}_\ell e^{j\eta_\ell z}$$

其中 $c_\ell$ 为待定展开系数。

4. 边界条件与级联求解

由麦克斯韦方程的边界条件可知，切向电场和切向磁场必须连续，因此利用界面的边界条件，把相邻层中的这些传播模在界面处“接起来”，从而得到一组关于系数 $c_\ell^{(l)}$ 和 $c_\ell^{(l+1)}$ 的匹配方程：

$$\sum_{\ell} c_\ell^{(l)}\mathbf{f}_\ell^{(l)}e^{j\eta_\ell^{(l)}z_0} = \sum_{\ell} c_\ell^{(l+1)}\mathbf{f}_\ell^{(l+1)}e^{j\eta_\ell^{(l+1)}z_0}$$

其中 $\mathbf{f}_\ell^{(l)}$ 表示第 $\ell$ 个传播模在界面处的切向场向量。把这一步整理成矩阵形式，就得到线性系统

$$\mathbf{M}^{(l)}\mathbf{c}^{(l)}=\mathbf{M}^{(l+1)}\mathbf{c}^{(l+1)}$$

通过求解这个“界面匹配”形成的线性系统，就能得到相邻层之间本征模系数的关系，进而求出每一层的反射、透射系数以及各个衍射级次的振幅。对于多层结构，可先求出每层的局部散射矩阵 $S$，再利用传输矩阵或 Redheffer 星积方法把各层的结果组合起来，最终得到整个器件的总反射与透射特性。

综上所述，RCWA 的本质是把“复杂的周期结构”分解为一系列“离散傅里叶级次”之间的耦合问题。入射波在光栅中会激发若干衍射级次，衍射级次之间通过周期介质的傅里叶系数相互耦合；通过求解矩阵本征值问题，就能准确获得每个级次的传播、反射和透射特性。因此 RCWA 特别适合分析周期性光栅、超表面、布拉格反射器以及其他具有空间周期性的光学器件。