本征模有限差分求解器(FDE)

SimWorks FDE 是研究人员和工程技术人员解决大型集成平面光波导、长距离传输器件和各类新型光纤问题的有力工具。下面，我们会简要介绍FDE求解器的基本原理和主要特色。

FDE算法基本原理

本征模有限差分求解器（FDE）通过在波导类结构截面网格上求解麦克斯韦方程组来计算模式的空间模场分布和频率特性。FDE的基本原理如下：

通过调整频域麦克斯韦旋度方程系数，可将其简化为如下形式：

\nabla \times \mathbf E = \mu_r \tilde{\mathbf H}

\nabla \times \mathbf H = \varepsilon_r \mathbf E

根据波导中模的基本形式，电磁场可以写作 ${\mathbf E(x,y,z) = \mathbf A(x,y) e^{-i\beta z}}$ ， ${ \tilde {\mathbf H}(x,y,z) = \mathbf B(x,y) e^{-i\beta z}}$ ，代入麦克斯韦旋度方程后得到电磁场分量表达式。如z轴向磁场分量：

\frac{\partial A_y(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial A_x(x,y)}{\partial y} = \mu_{zz} {B_z}

在空间内沿坐标轴线性展开，可将上述方程转换为矩阵形式：

{\mathbf D_x^E \mathbf a_y} - {\mathbf D_y^E \mathbf a_x} = \mu_{zz} \mathbf{b_z}

电磁场分量的六个矩阵方程可被转换为求解本征值的问题：

\mathbf A \mathbf x = \lambda \mathbf x

矩阵 $A$ 为差分算法的系数矩阵，向量 $x$ 为需要求解的电磁场分量， $\lambda$ 为传播常数。

在波导结构截面上生成2DYee cell网格后，材料参数、电场和磁场信息均能被体现在每个网格点。本算法使用稀疏矩阵技术进行矩阵本征值求解，可以得到对应于波导结构的模式分布和有效折射率。

模式数据

FDE求解器类型为2D Y normal时的仿真结果，如下所示。
- Y轴向量场的空间分布
${E(x,z)e^{-i(\beta y-\omega t)}}$

${H(x,z)e^{-i(\beta y-\omega t)}}$
- 等效折射率
  
  模式的等效折射率（Effective Index）计算如下:
$n_{eff}= \frac{c}{v}=\frac{\beta}{k_0}$

其中 $\omega$ 是角频率， $\beta$ 是模式的传播常数， $c$ 是真空中的光速， $v$ 是模式的群速度， $k_0$ 是自由空间的波矢量 $k_0=\frac{2\pi}{\lambda}$ 。
TE/TM占比

TE/TM占比（TE/TM fraction (%)）表示模式中TE和TM模式能量分布相对大小。其计算公式为：
$\text{ TE fraction } = 1-\frac{\int\left|E_{\perp}\right|^{2} dA_{||}}{\int\left(|E|^{2}\right) dA_{||}}$ $\text{TM fraction } = 1-\frac{\int\left|H_{\perp}\right|^{2} dA_{||}}{\int\left(|H|^{2}\right) dA_{||}}$
其中 $E_{\perp}$ 为沿传播方向的电场分量， $H_{\perp}$ 为沿传播方向的磁场分量， $A_{||}$ 为光波导模式截面上的积分面积。
模式损耗

模式的传输损耗（Loss (dB/cm)）被计算为：
${Loss (dB/cm)} = -0.2log_{10}(e^{-2\pi \kappa / \lambda})$
其中 $\kappa$ 是复折射率的虚部。

本征模有限差分求解器（FDE）通过在波导类结构截面网格上求解麦克斯韦方程组来计算模式的空间模场分布和频率特性。FDE的基本原理如下：

模式耦合算法基本原理

模式耦合被用来计算一个波导中某一输入模式与另一个波导中所有模式之间的场重叠和耦合效率。本软件提供的模式耦合算法基本原理如下。

对于某界面输入场 $\mathbf E_{in}$ 、 $\mathbf H_{in}$ 和输出场 $\mathbf E_{out}$ 、 $\mathbf H_{out}$ ，输入和输出功率分别为：

{P_{in}} = \frac{1}{2}Re[ \int d\mathbf S \cdot \mathbf E_{in} \times \mathbf H_{in}^{*} ]

{P_{out}} = \frac{1}{2}Re[ \int d\mathbf S \cdot \mathbf E_{out} \times \mathbf H_{out}^{*} ]

由于波导中任何场都可以看作是由一系列正交模组成的基组成，所以在反射场可以忽略不记的情况下，输入场和输出场可表示为：

\mathbf E_{in} = \mathbf E_{out} = \sum_{i} \mathbf a_{i} \mathbf e_{i}

\mathbf H_{in} = \mathbf H_{out} = \sum_{i} \mathbf b_{i} \mathbf h_{i}

其中系数 $\mathbf a_{i}$ 、 $\mathbf b_{i}$ 由下式进行计算：

\mathbf a_{i} = \frac {\int \mathbf E_{in} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S} {\int \mathbf e_{i} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S}

\mathbf b_{i}^{*} = \frac {\int \mathbf e_{i} \times \mathbf H_{in}^{*} \cdot d \mathbf S} {\int \mathbf e_{i} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S}

由此可以计算出传输输出场的总功率：

{P_{out}} = \frac{1}{2} \sum_{i} Re[\mathbf a_{i} \mathbf b_{i}^{*} \int \mathbf e_{i} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S ]

第i个模的模式耦合系数（ ${P_{i}}/{P_{in}}$ ）被计算为：

\frac{P_{i}}{P_{in}} = \frac {Re[\mathbf a_{i} \mathbf b_{i}^{*} \int \mathbf e_{i} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S ]} {Re[ \int \mathbf E_{in} \times \mathbf H_{in}^{*}\cdot d\mathbf S ] }

\frac{P_{i}}{P_{in}} = Re\bigg[ \frac {(\int \mathbf e_{i} \times \mathbf H_{in}^{*} \cdot d \mathbf S)(\int \mathbf E_{in} \times \mathbf h_{i}^{*} \cdot d \mathbf S) } {\int \mathbf e_{i} \times \mathbf h_{i}^{*}\cdot d\mathbf S} \bigg] \frac{1} {Re[ \int \mathbf E_{in} \times \mathbf H_{in}^{*}\cdot d\mathbf S ]}

根据模式耦合的结果得知给定的输入场中，第i个模式的场可以携带多少能量。需要注意的是，本算法是基于理想情况进行计算的，对于传输过程中存在反射或者存在损耗的波导时，计算结果可能并不准确。详细介绍请见Snyder和Love的《光波导理论》。

求解器的主要特色

3D CAD界面和丰富的零件库

多多视角3D Computer-aided Design（CAD）工作平台，助力模型搭建。
内置丰富的波导结构库，能够快速搭建各种结构的波导。
支持Graphic Design System（GDS）版图文件的直接导入，方便调整复杂结构。

网格技术

支持自动非均匀网格、自定义网格等网格剖分技术，提高复杂波导结构截面2D Yee cell网格构建效率。
拥有当前流行的高精度共形网格细化技术，包括：体平均偏振相关的等效介电常数法（Volume-average polarized effective permittivity）、体平均法（Volume average）、Yu-Mittra 1、Yu-Mittra 2，以达到更精确的模式求解结果。