布洛赫边界

布洛赫边界条件（Bloch）是周期边界的推广，用于处理周期性结构中存在相位偏移的入射场。它主要适用于以一定角度入射的平面波、波矢需要显式保留相位关系的周期结构分析，以及能带和色散计算。

基本概念

布洛赫边界是周期边界的推广，其核心思想是：在相邻周期单元之间保留相位偏移，而不仅仅要求场在平移后完全相同。对于周期结构，当入射场以有限角度入射、或结构中存在非零相位推进时，单纯使用周期边界无法保持波与晶格之间的相位关系，因此需要在边界映射时加入相位补偿。

其数学形式可写为：

\vec{E}_{x_{\max}} = e^{-i k_x a_x} \vec{E}_{x_{\min}}

其中， $k_x$ 是布洛赫波矢在 x 方向上的分量， $a_x$ 是沿 x 方向的晶格周期长度。更一般地，三维空间中的布洛赫条件可写为：

\vec{E}(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}}\vec{E}(\mathbf{r})

其中 $\mathbf{k}$ 为布洛赫波矢， $\mathbf{a}$ 为晶格平移矢量。这个公式表明，沿周期方向相邻单元的场不再是简单的“完全相同”，而是在平移后乘上一个相位因子，从而保留入射角度和晶格相位关系。

在工程上，布洛赫边界常用于斜入射平面波、角度相关的色散计算、能带分析和周期结构的相位敏感问题。其关键特点是在相邻周期单元之间保留相位补偿，因此在有相位偏移时仍能保持正确的传播关系。

布洛赫边界适合以下情况：

当入射为正入射、相位不发生偏移时，布洛赫边界退化为周期边界，即周期边界可视为 Bloch 边界在零相位偏移下的特例；
布洛赫边界与周期边界在同一方向上的上下边界条件必须保持一致；
在 FDTD 中，对于宽带仿真，建议配合软件内置的扫描功能以获得正确的角度和频率响应，详见扫描；
默认勾选 Using source angle，系统会根据光源角度自动计算布洛赫波矢；若取消勾选，则需要用户自行定义 $k_x$ 、 $k_y$ 、 $k_z$ 的分量。

Name	Description
kx/ky/kz	波矢 $\mathbf{k}$ 沿 x/y/z 方向的分量。