前言 #

超表面（metasurface）是一种由亚波长单元周期排列而成的结构，其工作原理基于广义斯涅耳定律（Generalized Snell's Law），能够通过设计特定的相位梯度调控电磁波传播。与传统光学器件相比，超表面具有超轻、超薄、易集成等优点，能够灵活地调整光束的振幅与相位，在偏振转换、光束整形等领域具有广泛应用。本案例基于参考文献 [1]，利用时域有限差分（FDTD）法建模仿真了一种由 V 形天线阵列构成的超表面，成功产生携带轨道角动量的涡旋光束，并利用远场投影获取了光束在超表面后 50 倍波长位置处的光强分布及干涉图样。

仿真设置 #

结构模型 #

超表面的基本结构单元为 V 形天线，由三部分组成：两根具有一定夹角的矩形金属臂以及连接两臂的圆柱，天线臂宽度为 $220\ \text{nm}$，高度为 $50\ \text{nm}$，圆柱半径为 $110\ \text{nm}$，材料设置为 Au (Gold) - Palik。当沿 $x$ 轴偏振的线偏振光入射时，V 形天线的两臂会被同时激发，产生沿 $x$ 方向偏振的散射场，以及一个由于结构不对称而产生的沿 $y$ 方向偏振的交叉偏振散射场。通过调整 V 形天线的几何参数，可以在保持散射振幅基本不变的前提下，精确控制该交叉偏振分量的相位延迟。

为了实现相位从 $0$ 到 $2\pi$ 的均匀覆盖，共选取了 8 种不同臂长（$L$）、不同两臂夹角（$\Delta$）或不同整体旋转角（$\theta$）的 V 形天线，使得相邻单元相位差为 $\pi/4$，天线的具体参数见下表。

Antenna	$\Delta\ (^\circ)$	$\theta\ (^\circ)$	$L\ \text{(μm)}$
1	90	-45	1.1
2	135	-45	0.9
3	180	-45	0.8
4	45	45	1.3
5	-90	45	1.1
6	-135	45	0.9
7	180	45	0.8
8	45	-45	1.3

超表面由 $20 \times 20$ 个 V 形天线周期性排列而成，晶格常数（相邻天线之间的中心距离）为 $1.5\ \text{μm}$。为了实现涡旋光束所需的螺旋相位梯度，以 $x\text{-}y$ 平面的原点为中心，将平面划分为 8 个等间隔的扇形区域，每个区域对应 $45^\circ$，并在不同区域放置特定参数的 V 形天线，使得相邻区域之间的相位依次递增 $\pi/4$，从而在空间上形成从 $0$ 到 $2\pi$ 的连续相位覆盖。此外，为了复现参考文献 [1] 的超表面，避免因相位跳跃过大引起的非物理散射，在设置天线时去除了第三象限对角线附近的天线单元，如下图所示。

在 FDTD 求解器中，将边界条件全部设置为完美匹配层（Perfectly Matched Layer, PML），用于吸收仿真边界处入射和反射的电磁波。由于天线的尺寸较小，为了保证计算精度，在天线区域添加自定义网格，并将三个方向的网格大小均设置为 $50\ \text{nm}$。

由于边界条件为 PML，无法在工程中使用平面光源（平面光源会在 PML 边缘处发生衍射），为了模拟垂直入射的均匀平面波，入射光源使用中心波长为 $8\ \text{μm}$ 的高斯光源，并进一步设置其参数，如下图所示，将束腰宽度（waist width）设置为 $16\ \text{μm}$，注入面与束腰的距离（distance from waist）设置为 $-2.025\ \text{μm}$，保证入射光在超表面中心区域波前近似平坦、强度分布均匀。

仿真结果 #

由于超表面近场区域内存在强烈的局域表面等离激元共振（LSPR）与倏逝波耦合，近场波前的相位分布高度紊乱，中心相位奇点易被杂散分量遮蔽。根据衍射传播理论，当光场传播至远场（夫琅禾费区）时，透射光场才能摆脱近场扰动。因此，为了查看及分析超表面产生的涡旋光束，需要获取其远场分布。在 FDTD 仿真中，获取器件远场分布通常有两种主流方法：一种是直接扩大仿真区域，使光传播至目标位置，这种方式虽然直观，但计算成本较高；另一种是近场-远场变换，该方法无需扩展仿真域，适用于快速估算远场结果。

打开附件中的 vortex_beam_metasurface.mpps 工程并仿真，仿真结束后运行 vortex_beam_metasurface.msf 脚本。脚本会根据近场监视器记录的数据，调用 farfieldeql2d 函数，将电场投影到距离超表面 50 倍波长（即 $400\ \text{μm}$）处的远场平面上，并绘制出透射光交叉偏振分量（$E_y$）在远场平面的光强分布及相位分布，如下图所示。从图中可以看出，透射光的远场强度呈环形分布，在光束中心存在一个强度为零的暗核；相位从 $0$ 到 $2\pi$ 围绕中心奇点呈连续螺旋状分布，且环绕中心一圈后相位累积变化 $2\pi$，是涡旋光束的典型相位特征。仿真结果表明，透射光束携带轨道角动量，中心光强为零是由于螺旋相位在光束轴线上产生的相位奇点所导致的。

为了直观展示涡旋光束的波前特性，采用干涉法将远场生成的涡旋光束与一个共传播的高斯参考光束进行叠加干涉，结果如下图所示。当携带螺旋相位的涡旋光束与相位平坦的参考光束叠加时，两者复振幅相互干涉，产生了螺旋状的干涉条纹，这种条纹是涡旋光束与共传播参考光发生同轴干涉时产生的典型特征。

附录 #

广义斯涅耳定律 #

费马原理（Fermat's Principle）指出，光从一点传播到另一点，其间无论经过多少次折射与反射，其光程为极值。在光的传播过程中，当光线从一种介质进入另一种折射率不同的均匀介质时，在两介质的交界面上会发生折射现象，如下图 (a) 所示。

根据费马原理推导得出的斯涅耳定律，可以用来确定折射光线的传播方向，其表达式为：

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

其中，$n_1$ 和 $n_2$ 为介质折射率，$\theta_1$ 和 $\theta_2$ 为入射角与折射角。

如果在两种介质的界面处增加一个厚度可以忽略不计的亚波长天线阵列，这些天线阵列会在介质表面带来相位突变 $\varphi(x)$，其大小取决于界面的位置 $x$，传统斯涅耳定律不再适用，需要被重新改写。经过研究，科学家对其进行了补充，解释了超表面因相位突变而非相位积累所产生的异常现象，并命名为广义斯涅耳定律。

广义斯涅耳定律是超表面的基本工作原理，依然可以由费马原理进行推导。如上图 (b) 所示，当光线以入射角 $\theta_1$ 从折射率为 $n_1$ 的介质 1 进入折射率为 $n_2$ 的介质 2 时，假定两介质的分界面为 $x$ 轴，法线方向为 $y$ 轴。光线从 $A(x_1,y_1)$ 经过 $B(x,0)$ 入射到 $C(x_2,y_2)$，其光程为

$$T = n_1 AB + n_2 BC$$

其中 $AB = \sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}$，$BC = \sqrt{(x - x_2)^2 + y_2^2}$。

由于介质分界面上会存在随 $x$ 轴不同位置变化的附加相位 $\varphi(x)$，因此光程会发生变化，上式变为

$$T = n_1 AB + n_2 BC + \frac{\lambda}{2\pi}\varphi(x)$$

其中 $\lambda$ 为入射光波长。

根据费马原理，光线从 $A$ 点经过 $B$ 点传播到 $C$ 点的路径对应的光程为极值，因此光程对 $x$ 的一阶导数应当等于零，即满足以下条件：

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{n_1(x - x_1)}{\sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}} - \frac{n_2(x_2 - x)}{\sqrt{(x_2 - x)^2 + y_2^2}} + \frac{\lambda}{2\pi} \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x} = 0$$

在直角坐标系中

$$\sin\theta_1 = \frac{x - x_1}{\sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}}, \quad \sin\theta_2 = \frac{x_2 - x}{\sqrt{(x_2 - x)^2 + y_2^2}}$$

由此可以得到广义斯涅耳定律的表达式：

$$n_1 \sin\theta_1 - n_2 \sin\theta_2 = -\frac{\lambda}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x}$$

由公式可以看出，若想控制光束的传播路径，可以通过控制超表面带来的附加相位 $\varphi(x)$，进而控制折射角 $\theta_2$ 的大小，实现对光束的精确控制。

参考文献 #

[1] N. Yu, et al. "Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction," Science, 334(6054), 333-337 (2011).