前言 #

对于横向均匀、仅在厚度方向存在折射率变化的多层介质结构，stack脚本提供了一种高效的解析计算手段。基于传输矩阵法（transfer matrix method，TMM），stack脚本将每一层介质对应一个传输矩阵，通过矩阵连乘得到整体传输矩阵，最终求解结构的反射率、透射率以及场分布。本文以四层介质结构为例，分别利用stackrt脚本与 FDTD 仿真，计算平面波在不同入射角下的的透过率和反射率，并将二者结果进行对比。此外，还利用stackrt脚本分析了中间层厚度发生 $5\ \text{nm}$ 变化时对反射率的影响。

仿真设置 #

模型简介 #

如上图所示，波长为 $1\ \text{μm}$ 的平面波沿 y 轴正向从空气（ Air，$n = 1$ ）入射到一个由三层介质材料堆叠的结构上，各层折射率依次为 $1.5$ 、 $2.5$ 和 $1.5$ ，其中，Layer 2 层和 Layer 3 层的厚度为 $2.5\ \text{μm}$ 。

仿真使用 uniform 网格，网格大小为 $10\ \text{nm}$ 。边界条件方面，在 x 方向采用 Bloch 边界条件以模拟横向无限大平面结构；在光传播方向（ y 方向）采用 PML 边界条件，同时为了防止入射光斜入射到 PML 层产生反射干扰，将 PML 配置类型（PML profile type）设为custom，具体参数设置如下。

本案例给出了 s 偏振（电场垂直入射面）的计算结果，通过设置偏振方向也可得到 p 偏振的结果。

仿真结果 #

在 FDTD 仿真中，每次仿真仅能得到单一入射角下的结果，因此需要利用参数扫描（parameter sweep）进行多次仿真来获得透过率、反射率与入射角的关系。需要注意，当结构复杂或网格精细时，会导致参数扫描耗时较长。附件中的 planewave_4layer.mpps 工程已预设好一个参数扫描，扫描点数为 $30$ ，入射角从 $0°$ 扫描至 $60°$ ，具体设置如下图所示。

运行附件中的 planewave_4layer.msf 脚本，在扫描完成后脚本会绘制出利用 FDTD 仿真与利用stackrt脚本命令计算的透过率与反射率，如图所示，FDTD 与 stackrt 的结果总体吻合较好，但在部分角度仍存在一定偏差。此外，脚本还给出了当中间两层厚度发生 $±5\ \text{nm}$ 变化时，stackrt 所预测的反射率最大与最小变化范围。

下面给出利用 stackrt 计算透过率与反射率的核心脚本命令，可以看出，在定义了介质折射率、介质厚度、入射光频率和入射角度后，仅用三行脚本就可以快速计算出所有角度的透过率和反射率，简单好用，快速便捷。

RT_stack = stackrt(n,d,f,theta);
R_stack = RT_stack.Rs;
T_stack = RT_stack.Ts

为进一步提高 FDTD 与 stackrt的一致性，将网格大小修改为 $5\ \text{nm}$ ，并将参数扫描点数增加至 $60$ ，使曲线更加平滑，结果如下图所示。可以看到，减小网格大小后 FDTD 仿真结果与stackrt解析计算结果更加接近。

stack脚本函数无需网格剖分，计算速度快且数值精度高，尤其适合参数扫描和优化迭代。仅需输入各层折射率、厚度、频率及入射角，即可快速获取结果，适用于膜系设计、VCSEL、OLED、布拉格光栅反射镜等场景的快速前期评估。