频域有限差分求解器(FDFD)

频域有限差分（FDFD）求解器通过求解频域麦克斯韦方程组来计算在目标频率下的电磁场空间分布。FDFD的基本原理如下。

• 频域麦克斯韦方程组

  对于无源材料，麦克斯韦旋度方程具有以下形式：

$$\nabla \times \mathbf E = k_0 \mu_r \tilde{\mathbf H}$$

$$\nabla \times \mathbf H = k_0 \varepsilon_r \mathbf E$$

• FDFD网格

  • FDFD 中的电磁场基于Yee cell网格在空间中交错分布，电场分布在FDFD网格棱线中心，磁场分布在FDFD网格面中心。

  • FDFD中的材料是基于Yee cell网格进行离散，FDFD网格中的材料检测点和结构形状进行点形逻辑判断，得到符合FDFD网格分布的材料（结构对应的电磁材料）离散分布。

• 有限差分算法

  根据频域麦克斯韦方程，在Yee cell网格上进行差分离散，对于Y轴向磁场分量有：

  $$\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = \mu_{yy} \tilde{H_y}$$

  在空间内沿坐标轴线性展开，可将以上方程转换为如下形式：

  $${\mathbf D_z^E E_x} - {\mathbf D_x^E E_z} = \mu_{yy} \tilde{H_y}$$

  同理可知：

  $${\mathbf D_z^H \tilde{H_x}} - {\mathbf D_x^H \tilde{H_z}} = \varepsilon_{yy} E_y$$

  其中，${E_z}$、${E_x}$、${E_y}$ 和 $\tilde{H_z}$、$\tilde{H_x}$、$\tilde{H_y}$ 是包含整个网格中所有电场和磁场分量的列向量；${\mathbf D_z^E }$、${\mathbf D_x^E}$ 和 ${\mathbf D_z^H}$ 、${\mathbf D_x^H}$ 是计算电磁场分量在网格上的空间差分所使用的带状矩阵；$\mu_{yy}$和$\varepsilon_{yy}$为包含整个网格沿其中心对角线的相对磁导率和介电常数张量分量的对角矩阵。

  根据上述方程，将恒定频率下的麦克斯韦方程组转换为矩阵形式：$Ax=b$。

  $${\mathbf A_E \mathbf E} = \mathbf f_E$$

  矩阵$A$为物理空间中的波动矩阵，列向量$x$为需要求解的电磁场分量，列向量$b$为源。

[1] Rumpf, Raymond C et al. “Rigorous electromagnetic analysis of volumetrically complex media using the slice absorption method.” Journal of the Optical Society of America. A, Optics, image science, and vision vol. 24,10 (2007): 3123-34.