有限差分载流子传输求解器(FDCharge)

有限差分载流子传输求解器基于漂移-扩散模型，并与泊松方程耦合，自洽求解静电势与载流子分布，能够精确再现半导体器件中的电荷输运过程。该模型是半导体器件仿真中常用的简化模型，主要物理原理如下：

(1) 电子与空穴的电流密度方程（漂移-扩散模型）

从唯象角度看，影响载流子运动的主要有三方面：电势梯度（即电场中带电载流子的漂移）、载流子扩散（即载流子的不均匀分布）和热梯度（泽贝克效应）。载流子在电磁场作用下的运动被称之为漂移；而在载流子浓度和温度梯度下的运动被称之为扩散。因此对于电子（n 型）和空穴（p 型），电流密度可表示为：

$$\begin{aligned} \mathbf{J}_n &= q\mu_n n \mathbf{E} + q\mathbf{D}_n \nabla n \\ \mathbf{J}_p &= q\mu_p p \mathbf{E} - q\mathbf{D}_p \nabla p \end{aligned}$$

其中：

• $J_n, J_p$：电子和空穴的电流密度；
• $q$：元电荷（elementary charge）；
• $\mu_n, \mu_p$：电子/空穴迁移率；
• $D_n, D_p$：扩散系数；
• $\mathbf{E} = -\nabla\phi$：电场（由电势 $\phi$ 导出）；
• $n, p$：电子/空穴浓度。

(2) 泊松方程

为了求解漂移-扩散模型，电场必须是已知的。为了解析电场，引入静电位移和电势：

$$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho, \qquad \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$$

因此可写出泊松方程：

$$\nabla\cdot(\varepsilon \nabla \phi) = -q\left(p - n + N_D^+ - N_A^-\right)$$

其中 $\varepsilon$ 是介电常数，$p,n$ 为空穴和电子浓度，$N_D^+, N_A^-$ 为电离施主/受主浓度。

(3) 载流子连续性方程

载流子通过辐射性（包括自发辐射和受激辐射）和非辐射性复合过程被消耗，通过引入电子-空穴对的复合速率$R$，可以得到描述载流子随时间演化以保持电荷守恒的连续性方程：

$$\begin{aligned} \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{1}{q} \nabla \cdot \mathbf{J}_n - R \\ \frac{\partial p}{\partial t} &= -\frac{1}{q} \nabla \cdot \mathbf{J}_p - R \end{aligned}$$

其中 $R$ 是净复合率（如 Shockley–Read–Hall 复合、Auger 复合、辐射复合等）。复合率依赖于温度、掺杂浓度、载流子浓度和电场等，需根据实际情况选择主导机制。

以上三组方程构成了一个非线性耦合的偏微分方程系统，SimWorks 使用有限差分离散化进行数值求解。

(4) 数值方法

• 多尺度问题：器件空间尺度差异大、载流子浓度跨度广，需要对方程进行适当缩放以避免数值上下溢并提升稳定性。
• 收敛困难：标准中心差分在强非线性耦合下可能不收敛，因此采用 Scharfetter–Gummel (SG) scheme 对半导体电流密度 J 进行离散化。
• 强非线性耦合：变量形成 $n \leftrightarrow p \leftrightarrow \phi$ 的强非线性闭环耦合，需采用 自洽迭代求解（如 Gummel 迭代或 Newton–Raphson 方法）。